一、常见考点
| 类别 | 常考点 |
|---|---|
| 数字推理 （部分省份考） | 多级数列（作差/作商）、递推数列（前两项和/积）、幂次数列（平方、立方±修正）、多重数列（奇偶项、分组）、分数/小数数列 |
| 工程问题 | 给完工时间（赋总量为最小公倍数）、给效率比、交替合作 |
| 行程问题 | 相遇追及、流水行船、环形跑道、平均速度（等距离） |
| 经济利润 | 成本、定价、售价、折扣、利润率；分段计费 |
| 排列组合与概率 | 捆绑法、插空法、隔板法、错位排列、古典概率、分步概率 |
| 几何问题 | 周长面积体积公式、勾股定理、相似（面积比=相似比²）、最短路径 |
| 容斥原理 | 两集合、三集合标准型与非标准型 |
| 最值问题 | 最不利原则（抽屉原理）、和定最值、多集合反向构造 |
| 其他 | 年龄、植树、日期星期、余数（同余）、牛吃草、钟表 |
二、核心方法 / 公式 / 口诀
1. 通用解题方法（先想方法，再列方程）
| 方法 | 适用信号 | 要点 |
|---|---|---|
| 代入排除 | 选项为具体数、多位数、年龄、余数、不定方程 | 从中间或最好算的选项代入，结合奇偶/尾数先排除 |
| 整除特性 | 题干有分数、百分数、倍数、比例、“平均” | A=B×(m/n) ⇒ A能被m整除；3/9看各位数字和；4看末两位；8看末三位 |
| 比例法 | 行程/工程中路程、时间、速度三量关系 | 路程一定，速度与时间成反比；时间一定，路程与速度成正比 |
| 特值法 | 只给比例、百分数，求比例/倍数 | 设总量为公倍数，设成本为100等 |
| 方程法 | 等量关系清晰 | 设小不设大、设中间量；不定方程用奇偶、尾数、整除 |
| 十字交叉 | 混合平均（溶液浓度、平均分、平均增长率） | 两部分量之比 = 平均值差的反比 |
2. 核心公式
- 工程：总量 = 效率 × 时间；多人合作效率相加。
- 行程：路程 = 速度 × 时间；相遇：S = (v₁+v₂)·t；追及：S差 = (v₁−v₂)·t；顺水 = 船速+水速，逆水 = 船速−水速；等距离平均速度 = 2v₁v₂/(v₁+v₂)。
- 环形：反向第n次相遇共跑n圈；同向第n次追上，快者多跑n圈。
- 利润：利润 = 售价 − 成本；利润率 = 利润 ÷ 成本；售价 = 成本 × (1+利润率)；打八折 = 原价 × 0.8。
- 排列组合：A(n,m) = n!/(n−m)!（有顺序），C(n,m) = n!/[m!(n−m)!]（无顺序）；相邻用捆绑，不相邻用插空，相同元素分配用隔板 C(n−1,m−1)。错位排列：D₃=2，D₄=9，D₅=44。
- 概率：P = 满足条件的情况数 ÷ 总情况数；分步相乘、分类相加；P(至少一次) = 1 − P(一次都没有)。
- 容斥：两集合 A+B−A∩B = 总数−都不；三集合标准型 A+B+C−AB−AC−BC+ABC = 总数−都不；非标准型 A+B+C−只满足两个−2×满足三个 = 总数−都不。
- 几何：圆面积 πr²，周长 2πr；球体积 (4/3)πr³；圆柱体积 πr²h；圆锥体积 (1/3)πr²h；边长变为原来的k倍，面积变为k²倍，体积变为k³倍。
- 植树：两端都种：棵数 = 总长/间距 + 1；环形：棵数 = 总长/间距。
- 牛吃草：原有草量 = (牛数 − 每天长草量) × 天数。
口诀：选项能代先代入，分数比例想整除；只给比例设特值，混合平均用十字；相邻捆绑、不邻插空、相同分配用隔板；“保证/至少”用最不利，最不利 +1。
3. 数字推理思路
- 看趋势：平缓递增 → 作差；增减幅度大 → 作商/倍数/幂次；项数多（≥7项）→ 多重数列；有分数 → 分子分母分别看或通分。
- 熟记：1~20的平方、1~10的立方、2的1~10次方、质数表（2,3,5,7,11,13,17,19,23,29…）。
三、例题精讲
先自己做，再点开答案。题目为原创或经典题型改编，数据为练习用虚构数据。
例1【数字推理】
2，3，5，9，17，（ ）
- A. 29
- B. 31
- C. 33
- D. 35
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答案：C
作差得1，2，4，8，是公比为2的等比数列，下一项差为16，17+16=33。也可看作 a(n+1)=2a(n)−1：2×17−1=33。
例2【数字推理】
2，5，10，17，26，（ ）
- A. 35
- B. 36
- C. 37
- D. 38
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答案：C
2=1²+1，5=2²+1，10=3²+1，17=4²+1，26=5²+1，所以下一项为6²+1=37。（作差3，5，7，9，11 也可得 26+11=37）
例3【工程问题】
一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。两人合作，需要几天完成？
- A. 5天
- B. 6天
- C. 7天
- D. 8天
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答案：B
赋总量为10和15的最小公倍数30，则甲效率=3，乙效率=2，合作效率=5，时间=30÷5=6天。
例4【行程·流水行船】
一艘船顺水航行120千米用了4小时，逆水航行同样的距离用了6小时。该船在静水中的速度是多少千米/时？
- A. 20
- B. 24
- C. 25
- D. 30
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答案：C
顺水速度=120÷4=30，逆水速度=120÷6=20。船速=(顺水+逆水)÷2=(30+20)÷2=25千米/时（水速=(30−20)÷2=5）。
例5【经济利润】
某商品按成本加价40%定价，后来打八折出售，每件仍获利24元。该商品每件成本是多少元？
- A. 150
- B. 180
- C. 200
- D. 240
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答案：C
设成本为x，售价=x×1.4×0.8=1.12x，利润=0.12x=24，x=200元。验证：定价280，八折224，224−200=24 ✓。
例6【排列组合·捆绑】
5个人站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，共有多少种不同的站法？
- A. 24
- B. 48
- C. 60
- D. 120
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答案：B
把甲乙捆绑看作一个整体，与其余3人共4个元素全排列：A(4,4)=24；甲乙内部可以互换：A(2,2)=2。共24×2=48种。
例7【概率】
袋中有3个红球、2个白球，从中不放回地随机取出2个球，恰好取到1红1白的概率是：
- A. 2/5
- B. 1/2
- C. 3/5
- D. 3/10
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答案：C
总情况数C(5,2)=10；1红1白：C(3,1)×C(2,1)=6。概率=6/10=3/5。
例8【容斥原理】
某单位50名职工中，会英语的有32人，会日语的有20人，两种都不会的有5人。两种都会的有多少人？
- A. 5
- B. 7
- C. 9
- D. 12
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答案：B
两集合公式：会英语+会日语−都会=总数−都不会，即32+20−x=50−5=45，x=7人。
例9【几何问题】
一个正方形的边长增加20%，其面积增加了百分之多少？
- A. 20%
- B. 40%
- C. 44%
- D. 48%
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答案：C
边长变为原来的1.2倍，面积变为1.2²=1.44倍，增加44%。（几何口诀：长度×k，面积×k²）
例10【最值·最不利原则】
一副完整的扑克牌共54张（含大小王各1张），至少要抽出多少张，才能保证其中有4张牌的花色相同？
- A. 13
- B. 14
- C. 15
- D. 16
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答案：C
最不利情况：先抽到大小王2张（无花色），4种花色各抽3张共12张，此时仍没有4张同花色，共2+12=14张；再抽1张必然凑成某花色4张。至少14+1=15张。
例11【余数·代入排除】
一个正整数除以3余2，除以5余3，除以7余2。满足条件的最小正整数是：
- A. 23
- B. 38
- C. 53
- D. 128
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答案：A
代入排除，从最小选项开始：23÷3=7余2 ✓，23÷5=4余3 ✓，23÷7=3余2 ✓，故最小为23。（38÷3余2、÷5余3，但÷7余3 ✗；128是下一个满足条件的数=23+105）
例12【工程问题】
甲、乙两人的工作效率之比为3∶2，甲单独完成某项工作需要22天。若两人合作，完成这项工作需要多少天？
- A. 14.2天
- B. 12.2天
- C. 13.2天
- D. 11天
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答案：C
设甲效率为3、乙效率为2，则工作总量=3×22=66。合作时间=66÷(3+2)=13.2天。
例13【行程问题】
甲在乙前方1210米处，甲每分钟走81米，乙每分钟走136米。两人同时同向出发，乙追上甲需要多少分钟？
- A. 24分钟
- B. 22分钟
- C. 44分钟
- D. 5.58分钟
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答案：B
追及时间=路程差÷速度差=1210÷(136-81)=22分钟。
例14【经济利润】
某商品的进价为40元，售价为71元，则该商品的利润率是多少？
- A. 77.5%
- B. 43.66%
- C. 82.5%
- D. 72.5%
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答案：A
利润率=利润÷成本×100%=(71-40)÷40×100%=77.5%（注意分母是成本而不是售价）。
四、易错点
- 工程题“赋总量”要取各完工时间的最小公倍数，算出效率后再分析，避免分数运算。
- 平均速度不是速度的简单平均：往返等距离时用 2v₁v₂/(v₁+v₂)。
- 利润率的分母是成本，不是售价；“打八折”乘0.8，“降价20%”也是乘0.8，但“提价后再降价同样百分比”结果低于原价。
- 排列还是组合：选出后有顺序（排座次、分工不同）用A，无顺序（选代表）用C；容易重复计数。
- “至少……才能保证”一定按最不利情况构造，最后别忘了 +1；注意大小王等“无属性”元素要先算上。
- 三集合题先判断是“标准型”（给两两交集）还是“非标准型”（给只满足两项的人数），公式不同。
- 代入排除时注意题目问“最小/最大”，从对应方向的选项开始代入。